Skärningspunkt ekvation
Skärningspunkter på grund av cirkel samt linje
Bestäm skärningspunkterna för sträcka \( y=x \) samt cirkeln \( x^2+y^2=4 \).
Lösning
Situationen är följande:
Vi löser ekvationssystemet
\( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x \\ x^2+y^2 & = & 4 \\ \end{array} \right. \)
Vi ersätter \( y \) tillsammans med \( x \) inom den andra ekvationen samt får
\( \begin{array}{rcl} x^2+x^2 & = & 4 \\ 2x^2 & = & 4 \\ x^2 & = & 2 \\ x & = & \pm \sqrt{2}\\ \end{array} \)
Eftersom \( y=x \) därför är skärningspunkterna \( (\sqrt{2},\sqrt{2}) \) samt \( (\sqrt{2},-\sqrt{2}) \).
Lösning
Sitationen är följande:
Vi bildar ekvationssystemet
\( \left\{ \begin{array}{rcll} (x+1)^2+(y-2)^2 & = & 4 & (1.) \\ y & = & 4 & (2.)\\ \end{array} \right. \)
Vi sätter in ekvation (2.) i (1.) och får
\( \begin{array}{rcl}(x+1)^2+()^2 & = & 4 \\x^2+2x+1+4 & = & 4 \\x^2+2x+1 & = & 0 \\(x+1)^2 & = & 0 \\x+1 & = & 0 \\x & = & -1 \\\end{array} \)
Då \( x=-1 \) får vi \( y \) genom insättning,
\( \begin{array}{rcl} (-1+1)^2+(y-2)^2 & = & 4 \\ y^y +4 & = & 4 \\ y^2 -4y & = & 0 \\ y(y-4) & = & 0 \\ y=0 & \vee & y-4=0 \\ & & y=4\\ \end{a
Skärningspunkter
Från gymnasiemattens första kurser fick vi lära oss hur ekvationssystem löses när två linjära funktioner skär varandra i en punkt. I denna lektion vill vi utvidga detta koncept då vi oftast inte kommer ha två linjer och skärningen ofta inte bara är i en enda punkt.
Skärning mellan två linjer
Två icke-parallella linjer som är definierade i har alltid en skärningspunkt någonstans. För att hitta den punkten ställs ett ekvationssystem upp med varje linjes normalekvation där variablernas värden ska beräknas. Detta kan göras genom substitutionsmetoden eller additionsmetoden. Då detta är ett område som berörts i gymnasiekurserna kommer vi inte gå igenom dessa.
Skärning mellan ett plan och en linje
Säg att vi har en linje och ett plan, definierat i , då kommer linjen inte kunna vara definierad i normalform utan måste vara beskriven genom parametrarform.
Planet är vanligtvis definierat på normalformen . De eventuella skärningspunkterna kan uppstå i tre olika former:
Linjen är parallell med planet och ligger inte i planet: inga skärningspunkter
Linjen är parallell med planet och ligger i planet: oändligt med skärningspunkter
Linjen är inte parallel
© Rasmus ehf and Jóhann Ísak Ekvationer III
Lektion 3
Skärningspunkter på grafer
Hur gör vi för att hitta punkterna där två grafer y = f(x) och y = g(x) skär varandra?
Vi vet redan det går till att hitta vart grafen till f(x) skär x-axeln. Det är där y = 0. Vi räknar ut det genom att lösa ekvationen f(x) = 0.
När graferna till y = f(x) och y = g(x) skär varandra, så har båda graferna exakt samma x- och y-värden. Alltså kan vi hitta skärningspunkten eller punkterna genom att lösa ekvationen f(x) = g(x). Lösningen till denna ekvation ger oss x-värdet(ena) på skärningspunkten(erna). Vi kan hitta y-värdet genom att sätta in värdet för x som vi hittat in i en av originalekvationerna. Det är genom att räkna ut antingen f(x) eller g(x).Exempel 1
Räknar ut skärningspunkten på de två linjerna f(x) = 2x &#; 1 och g(x) = x + 1. Låt oss först titta på en graf utav de två funktionerna. Vi kan se att skärningspunkten är (2,3)
Vi räknar ut skärningspunkten genom att lösa ekvationen f(x) = g(x). Alltså:
2x &#; 1 = x + 1
2x &#; x = 1 + 1
x = 2